Материал предназначен для углублённой работы с учащимися 8 класса, проявляющими интерес к олимпиадной математике, и ориентирован на формирование у школьников системного подхода к задачам, где ключевую роль играет структура десятичной записи числа, то есть цифры числа и их разряд. Материал будет полезен учителям математики при подготовке к занятиям математического кружка, учащимся 8 классов для подготовки к олимпиадам, а также учащимся 11 классов для эффективной подготовки к ЕГЭ.
В материале раскрываются базовые способы представления чисел в десятичной записи. Особое внимание уделено переходу от «цифрового» описания к алгебраической модели – это основной навык, который позволяет решать олимпиадные задачи такого типа.
Ключевые темы и приёмы: алгебраическая запись чисел по разрядам; признаки делимости; оценка и перебор (приёмы ограничения количества возможных вариантов, оценка величины числа, анализ первой и последней цифры, чётность, границы значений переменных); разбор случаев и логика рассуждений (пошаговое построение доказательства, работа с противоречиями, использование инвариантов и чётности в задачах на перестановки и преобразования цифр).
Практическая ценность материала состоит в том, что он помогает выстроить у учащихся цепочку рассуждений «условие → модель в виде алгебраического выражения → анализ с помощью делимости/остатков/оценок → доказательство/перебор → проверка». Такой подход позволяет использовать материал как часть системы подготовки к олимпиадам, а также как источник задач для тестов и индивидуальных траекторий.
Методическая разработка составлена на основе классических задач теории чисел. Материал опирается на программу 8 класса, но расширяет её за счет элементов теории чисел, что соответствует требованиям ФГОС к развитию метапредметных навыков.
1. Материал к уроку «Десятичная запись числа»
Начнем с задачки. Пусть ваш друг задумает какое-нибудь многозначное число. Предложите ему найти сумму цифр этого числа, а затем отнять ее от задуманного числа. Далее в том числе, которое у него получилось, пусть зачеркнет одну любую цифру и назовёт вам все остальные. Ваша задача – немедленно назвать другу зачеркнутую цифру, хотя вы не знаете, какое число задумывалось, и не видели, какие именно действия с ним выполнялись. Как можно это сделать? В чем разгадка фокуса?
Пробуя разгадать секрет такого фокуса, вы погрузитесь в захватывающий мир занимательной математики! Задачи занимательной математики – нестандартные и своеобразные; их решение позволяет приобщиться к творческому мышлению, ощутить красоту и величие математики, пробудить наблюдательность, умение логически мыслить. В таких задачах одним из важных элементов является элемент игры, который может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса, а иногда обычной, на первый взгляд, математической задачи с "секретом".
Давайте начнем решение с простого примера. Пусть ваш друг загадал число
. Тогда сумма цифр
, а разность
. Ваш друг может вычеркнуть любую цифру из этого числа, после чего сообщает вам оставшиеся цифры (2 и 2 или 2 и 5). Ваша задача быстро назвать вычеркнутую цифру (5 или 2).
С помощью одного примера сложно заметить закономерность, с помощью которой определяется цифра. Рассмотрим ещё несколько примеров.
Загаданное число:
. Тогда
.
Загаданное число:
. Тогда
.
Загаданное число:
. Тогда
.
Обратим внимание на цифры полученного числа: в каждом случае сумма цифр даёт число, делящееся нацело на 9!
В этом и кроется разгадка: нужно найти такую цифру, которая вместе с суммой известных вам цифр составит число, делящееся на 9 без остатка. Например, если для первого примера была зачеркнута цифра 5, вам назвали цифры 2 и 2, то сложив их, вы получаете 2 + 2 = 4 и понимаете, что до ближайшего кратного 9 числа не хватает как раз цифры 5.
Кажется, что разгадка фокуса найдена. Но возникают вопросы: как заметить закономерность? почему необходимо складывать цифры, а не, например, умножать их? почему вообще так получается?
Для начала вспомним, как представляются числа в общем виде в десятичной системе счисления. Если цифры числа не важны для конкретной задачи, то любое неизвестной число принято представлять переменной, например,
. Однако, если важны все (или какие-то конкретные) цифра числа, то такое представление будет неудобным для решения. В этом случае число представляют так:
. Каждая цифра числа записана отдельной переменной, горизонтальная черта сверху позволяет отличить такое представление числа от обычного произведения
. Учитывая разряды чисел, получаем следующие формулы:
– двузначное число
– трёхзначное число
– четырёхзначное число
Как вы уже догадались, ряд таких формул можно продолжать бесконечно. Какую формулу выбрать – зависит от условия и целей конкретной задачи.
Рассмотрим теперь решение задачи с зачёркнутой цифрой.
Пусть для определённости ваш друг задумал трехзначное число
. Вычтем из него сумму цифр:
Из полученного выражения видно, что такое число делится нацело на 9. Значит, при вычитании из числа суммы его цифр всегда должно получаться число, делящееся на 9 без остатка. Проверьте данное утверждение для четырехзначных чисел самостоятельно и попробуйте сделать вывод, почему в данном случае количество цифр в числе не имеет значения.
Важный нюанс: при выполнении фокуса может оказаться, что сумма сообщённых вам цифр уже делится на 9. Это показывает, что зачеркнутая цифр либо 0, либо 9. В этом случае однозначно определить ответ нельзя.
Задача 1. Некоторое четырёхзначное число сложили с числом, записываемым теми же цифрами, но в обратном порядке, и получили 4983. Какие числа складывали?
Решение.
Пусть
– искомое четырёхзначное число. Тогда
число, записываемое теми же цифрами, но в обратном порядке.
Учитывая, что их сумма равна 4983, составим уравнение:
Заметим, что коэффициенты некоторых слагаемых совпадают, и сделаем группировку:
Слагаемое
не может превышать число
. Возможные варианты для скобки
1, 2, 3, 4.
Рассмотрим каждый случай:
1) Если
, то
,
но 3982 не делится на 110, следовательно такой случай невозможен.
2) Если
, то
,
что тоже невозможно, учитывая, что
– это цифры числа.
3) Если
, то
,
– этот случай подходит.
4) Если
, то
,
, что невозможно в данных условиях.
Значит,
, а
. Сумма двух цифр равна 18 только в том случае, когда обе цифры равны 9, то есть
.
Цифры
стоят в начале чисел, а значит не могут быть нулевыми. Чтобы получить сумму 3, нужно сложить 1 и 2, следовательно возможны два случая:
, и наоборот
.
Так как по условию задачи неважно, какое число было изначально, то получаем числа 1992 и 2991.
Ответ: 1992 и 2991.
Замечание. В решении мы рассматривали четыре случая для суммы
. Этого можно избежать, если сразу обратить внимание на последнюю цифру числа 4983, то есть 3. Так как второе слагаемое точно делится на 110, то из разряда единиц необходимо вычесть цифру 3, это возможно только в одном из рассматриваемых случаев.
Задача 2. Вася задумал три различные цифры, отличные от нуля. Петя записал все возможные двузначные числа, в десятичной записи которых использовались только эти цифры. Сумма записанных чисел равна 231. Найдите цифры, задуманные Васей.
Решение.
Пусть
– три цифры, задуманные Васей. Существует девять двузначных чисел, в десятичной записи которых используются только эти цифры:
;
.
Найдем их сумму, разложив каждое из чисел в виде суммы разрядных слагаемых:
По условию,
, то есть,
.
Существует единственная тройка различных и отличных от нуля цифр, сумма которых равна 7: это цифры 1, 2 и 4.
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Более того, сумма цифр числа даёт такой же остаток от деления на 3, как и само число.
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 или 5.
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Более того, сумма цифр числа даёт такой же остаток от деления на 9, как и само число.
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы цифр, стоящих на нечётных местах, и суммы цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11 (например, число 305792608 делится на 11, так как (8+6+9+5+3)−(0+2+7+0)=22 делится на 11).
Задача 3. В трёхзначном числе первую цифру (разряд сотен) увеличили на 3, вторую – на 2, третью – на 1. В итоге число увеличилось в 4 раза. Приведите пример такого исходного числа.
Решение.
Пусть
– искомое число.
Тогда полученное число
.
По условию
Отсюда
.
Ответ: 107.
Замечание. В задачах подобного типа можно заранее быть уверенным, что вы получили верный ответ. Для этого достаточно делать проверку: исходное число 107, преобразованное по условию - 428, 428:107 = 4.
2. Задания базового уровня (проверка понимания)
1. 1. Выберите верную формулу:
1)
2)
3)
4)
Ответ: 1
1.2. Выберите верную формулу:
1)
2)
3)
4)
Ответ: 3
2.1. Запишите формулу пятизначного числа:
Ответ:
2.1. Запишите формулу шестизначного числа:
Ответ:
Примечание. Переменные, используемые для обозначения цифр, могут быть любыми, но обязательно различными.
3.2. Два числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называются:
1) простыми
2) взаимно простыми
3) взаимно составными
4) кратными
Ответ: 2
4.1. Известно, что число
делится на 5. Какая цифра может стоять на месте звёздочки?
Ответ: 0 или 5.
4.2. Известно, что число
делится на 4. Какая цифра может стоять на месте звёздочки?
Ответ: 1, 3, 5, 7 или 9.
4.3. Известно, что число
делится на 3. Какая цифра может стоять на месте звёздочки?
Ответ: 2, 5 или 8.
4.4. Известно, что число
делится на 9. Какая цифра может стоять на месте звёздочки?
Ответ: 0 или 9.
Задания повышенного уровня
1.1. Найдите все двузначные числа, которые в 4 раза больше суммы своих цифр.
1.2. Найдите все трёхзначные числа, которые в 7 раз больше суммы своих цифр.
2.1. К двузначному числу приписали слева и справа цифру 1. Полученное четырёхзначное число оказалось в 21 раз больше исходного. Найдите исходное число.
2.2. К трехзначному числу приписали справа это же число. Во сколько раз увеличилось число? Докажите, что полученное шестизначное число всегда делится на 7, 11 и 13.
3.1. Может ли сумма цифр трёхзначного числа быть равной 27? А 28? Ответ обоснуйте.
3.3. Найдите все такие двузначные числа, которые при делении на сумму своих цифр дают в частном 4 и в остатке 3.
Творческое задание
Придумать «математический фокус» на основе признаков делимости и показать его классу.